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Cuando pensamos en el movimiento armónico simple siempre solemos hacerlo en términos de una masa unida a un resorte. Hay, no obstante, otro ejemplo estándar de movimiento armónico simple que es el del péndulo. Reinicio.
Un péndulo no es más que un objeto pesado, la masa (o lenteja) del péndulo, colgando de una cuerda muy ligera (si la cuerda no es suficientemente ligera, tenemos un péndulo compuesto donde se ha de tomar en cuenta la masa de la cuerda). Considere la Animación 1. Aquí la longitud de la cuerda es 15 m y la masa del péndulo es 1 kg (posición en metros, ángulo en radianes y tiempo en segundos). Cuando analizamos las fuerzas que actúan sobre la masa del péndulo (arrastre el péndulo fuera de su posición de equilibrio y pulse "marcha"), encontramos que actúan la fuerza de la gravedad y la de la tensión de la cuerda. Como la cuerda es inextensible, la parte de la fuerza gravitatoria opuesta a la tensión (las componentes del peso se muestran en verde claro) debe cancelar a la fuerza de la tensión de la cuerda. Esto deja una fuerza neta que es perpendicular a la tensión y paralela a la trayectoria del péndulo. Muestre la Animación 1 con trayectoria de la masa. Cuando hacemos los cálculos encontramos que la fuerza neta sobre la masa del péndulo va como:
Fneta = - mg sen(θ),
que, a primera vista, no se parece en absoluto a la del movimiento armónico simple. Pero, ¿qué sucede cuando el ángulo
θ
es suficientemente pequeño? Entonces sen(θ) ≈ θ
y, por tanto, Fneta ángulos pequeños = - mg θ
Aleje al péndulo de su posición de equilibrio con ángulos grandes y podrá observar como la fuerza real se aleja de la lineal correspondiente al movimiento armónico simple. El movimiento del péndulo es de acuerdo con la fuerza real Fneta = - mg sen(θ) y no como correspondería a la aproximación linealizada Fneta = - mg θ, aunque se muestren ambas fuerzas en el gráfico. Por tanto, el período que se mide para el péndulo es el período real.
Cuando obtenga un gráfico con buena apariencia, pinche en él con el botón derecho del ratón para clonarlo y poder reescalarlo para observarlo mejor .
Utilizando radianes, se tiene que s
= θ L, siendo s el arco recorrido desde el punto de equilibrio. La fuerza, en condiciones de ángulo pequeño,
es -(mg /L) s, siendo mg /L el factor de proporcionalidad entre
F y -s. Por tanto, para ángulos pequeños en que
sen(θ)
≈ θ tenemos movimiento armónico simple.
Pasemos ahora a la Animación 2 en la que se comparan los movimientos de un péndulo y de una masa unida a un resorte. El péndulo es como el utilizado en la Animación 1 (la fuerza neta sobre la masa del péndulo se muestra en verde claro). Para el resorte se ha puesto una constante de 1.30666 N/m y la masa a él unida es de 2 kg. Veremos después por qué se han elegido valores tan raros y precisos. Arrastre el péndulo a unos 0.15 radianes y arrastre la masa del resorte a una amplitud dada, no importa el valor, pero escojamos, por ejemplo, 2.3 m. ¿Qué nota en el gráfico cuando inicia la animación? Entiende por qué escogimos tan cuidadosamente la masa y la constante del resorte? Estos valores fueron seleccionados para sincronizar los movimientos de los dos sistemas:
ωmasa-resorte = (k/m)0.5 = ωpéndulo = (kefectiva/m)0.5 = (g/L)0.5.
Reinicie ahora la animación y arrastre la masa del péndulo a 0.75 radianes y la masa del resorte a 10.3 m, iniciando la animación. Explique, observando la Animación 1, qué es lo que sucede ahora. Note que a medida que transcurre el tiempo los dos movimientos se separan claramente. El movimiento del péndulo con amplitud grande no es un movimiento armónico simple.
Ilustración creada por Morten Brydensholt, Wolfgang Christian y Mario
Belloni.
Script creado por Morten Brydensholt, Wolfgang Christian y Mario Belloni.
© 2004 Pearson Educación S. A.