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Veamos ahora los aspectos energéticos del movimiento armónico simple. Para ello consideraremos tanto el movimiento del péndulo como el del sistema masa-resorte. Fijaremos los parámetros de dichos sistemas con valores coincidentes con los de la ilustración anterior de forma que los dos sistemas se muevan sincronizados; para el péndulo seleccionaremos movimiento en régimen de pequeña amplitud. Los parámetros son: masa del péndulo 1 kg y longitud 14 m; masa del sistema masa-resorte de 2 kg y constante del resorte de 1.30666 N/m (posición en metros, ángulos en radianes y tiempo en segundos). Reinicio. Recordemos que la igualdad de períodos se logra porque:
ωmasa-resorte = (k/m)0.5 = ωpéndulo = (kefectiva/m)0.5 = (g/L)0.5.
En las siguientes animaciones mostraremos gráficos de energías cinética y potencial del sistema masa-resorte pero no del péndulo. No obstante, las gráficas del péndulo
(régimen de pequeñas amplitudes) serán coincidentes con las mostradas para el resorte
sólo que con justo la mitad tanto de la energía potencial como de la energía cinética (y por tanto también la mitad de la energía total). ¿Por qué la mitad? Para el sistema masa-resorte la energía cinética es
1/2 mv2 y la energía potencial es 1/2 kx2, mientras que para el péndulo
la energía cinética de su masa es 1/2 mv2 y la potencial es
1/2 kefectivax2. La
masa del péndulo, con los datos de esta ilustración, es la mitad que la
de la masa unida al resorte y de aquí el factor mitad. También, la constante efectiva para el péndulo es la mitad que la del sistema masa-resorte
(kefectiva = mpéndulog/L =
0.6533 N/m), lo que justifica que también la energía potencial sea la mitad, a igualdad de desplazamiento horizontal.
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Consideremos la Animación 1 que muestra el gráfico de energía cinética y potencial vs. posición. ¿Qué podemos decir sobre la energía total? Es constante, con valor en torno a 1.89 J. Se parte de energía totalmente potencial para pasar a toda cinética en el punto de equilibrio. De nuevo tenemos toda la energía como potencial en el punto de máxima compresión. Como la energía total es la suma de la cinética y de la potencial, tenemos que:
E = 0.5 mv 2 + 0.5 k x2 = 0.5 k xmax2 = 0.5 m vmax2.
Pasemos ahora a la Animación 2
que muestra el gráfico de energía cinética y potencial vs. tiempo. Notemos que ahora los dos gráficos son diferentes en su forma o dependencia
funcional.
Los gráficos de la Animación 1
tienen la forma de 0.5 k x2 (energía potencial) y de
E -
0.5 k x2
(energía cinética) donde E es una constante, la energía total. En esta animación la energía total vale
1.89 J. La forma de la energía
cinética puede entenderse a partir de la función energía anteriormente expuesta. La energía potencial es
0.5 k x2, proporcional a
x2. La energía cinética, siempre positiva, puede escribirse como la energía total,
E, menos la potencial:
E - 0.5 k x2.
Los gráficos de la Animación 2
tienen la forma de un cos2
(energía potencial) y de un sen2 (energía cinética), con ambas funciones trigonométricas función del tiempo. Esto es así porque, como sabemos del movimiento armónico simple, si el objeto parte del reposo una vez desplazado del
equilibrio:
x = x0 cos (ωt) y v = -ω x0sen (ωt).
Según lo expuesto en relación a la expresión de las energías, se tiene:
EC(t) = 0.5 k x02 sen2(ωt) y EP(t) = 0.5 k x02 cos2(ωt),
donde hemos utilizado que ω2 = k/m para simplificar la energía cinética. Por tanto la energía total siempre resultará ser una constante: 0.5 k x02 = 1.89 J.
Ilustración creada por Morten Brydensholt, Wolfgang Christian y Mario Belloni.
Script creado por Morten Brydensholt, Wolfgang Christian y Mario Belloni.
© 2004 Pearson Educación S. A.